車での移動の場合は、動く振動が直接伝わってきます。なるべく振動が伝わらずに安定出来るところにキャリーを置くことがよいと思います。放し飼いの状態やケージで載せるよりはキャリーなどに入れたほうがよいと思います。広すぎないある程度の空間であるほうがうさぎさんは安定感を保てると思います。もしキャリーなどがなくケージを利用される場合は、うさぎさんは暗かったり、狭いところが好きですので、隠れられるようなトンネルやハウスなどをいれてあげるとよいかもしれません。
また長時間の移動の場合は、うさぎさんの排泄物が体に着かないように、すのこなどを用いたキャリーだったり、ボトルなどがセット出来る物なども考えてあげるとよいと思います。移動中、うさぎさんは水を飲まなかったりもしますが、いつでも補給出来るようにしてあげた方がよいかと思います。水のかわりに生野菜を入れてあげる飼い主さんも多いようです。他に牧草を束にした物などをいれてあげてくださいね。また野菜などは品質が変わらないように注意することも大事です。
移動中の温度管理も必要ですね。暖房がきいているときはうさぎさんにとって暖かい場合がありますので、気を付けることが必要です。今回はお車のようですからさほど心配ないかもしれませんが、エアコンからの風が直接当たらないようにしてあげることが必要です。また渋滞などの混雑時をさけることや、時間に余裕をもって予定を立てるなどのことも必要になってくると思います。
移動先は、お家にいたときとは違う環境（間取りや音や匂いなど）がうさぎさんにも感じられることと思います。そのストレスとなりうる環境を最小限にしてあげることも大事かもしれません。北条様もお考えのように、現在使用しているもの、もしくはそれと同じタイプの物を準備されることでも、うさぎさんにとってはなじみのものになりますので、安心するかと考えられます。
うさぎさんにとっても長旅ですので、疲れもでるでしょう。到着したら、調子を崩したりしていないか観察することは大事なのですが、あまりいじらずゆっくりさせてあげることもとても大切です。そしていつも通りの生活パターンを送らせてあげることは難しいかもしれませんが、きっとうさぎさんも今は特別なんだとわかってくれると思います。なるべく静かな環境や、遊ばせていた時間などにスキンシップをとるなどでもよいと思います。もちろんいつものように生活を送れるのがベストかもしれませんが、うさぎさんもわかってくれると思いますよ。また具合が悪くなる可能性も考えて、うさぎさんを診られる獣医師を探しておくこともとても大事です。
長時間の移動で、心配事も多いかもしれませんが、何よりもご家族みんなが一緒なのですから、うさぎさんもそのことを理解してくれると思いますよ。