そうですね、足の周りをくるくる回ったりする行動も合わせてみられるようですし、発情している可能性があるかと思います。雄の発情は条件さえ揃えば一年中見られます。テリトリーの拡大や自分よりも弱い立場の動物の登場（飼い主さんやほかの雄うさぎ）、そして雌うさぎの登場などが当てはまれば発情していると考えます。特にこういった原因となる要素があったのであれば間違いないかと思います。また雄の場合はただ単に欲情しているだけでなく、自分の優位を示す行為として縄張りを示すことの意味も大きいのです。深夜にみられる行動は、うさぎは日中よりも夕方から朝方にかけた時間帯のほうが活発になりますので、こういったことも原因のひとつかもしれません。
発情は本能ですので、これを押さえるには、去勢や避妊しかありません。（ですが手術でも完全ではないようです。）しかし、助長させないようにする事はできると思います。ケージの隅を掘るのであれば、その音が響かないように、ケージの下にマットを敷いたり、ケージの隅には掘れないように固定式のかじり木などで防御してみてはいかがでしょうか。そのほかおもちゃ（牧草や牧草などで出来た物など、音があまりしないものがよいかもしれませんね）を入れてあげて、そちらに気が向くようにするのもよいですよ！また止めさせようとうさぎさんにかまってしまうと、今度はそのことを目的として、さち様を呼ぶようになるかもしれませんので、我慢することも大事です。うさぎさんから見えないように目隠しなどでケージを覆ってもよい方法です。
ケージから放したときに見られる発情の行動も、頻繁にみられたりより行動が大きくなるようでしたら、放す範囲をケージなどで制限する事などが必要になるかもしれませんね。