まず餌入れの固定位置ですが、心配なようでしたら扉側などの低い位置に付け替えるなどして、様子をみてはいかがでしょうか？成長と共に、また手を掛けることを覚えればクリアされる問題だと思いますよ。
グルーミングは、換毛期に限らずに３日に一度ぐらいは行っていただきたいです。そのことにより、体のチェックやコミュニケーションを図れるものですので、是非頑張って下さい。うさぎさんがいつも遊ぶ部屋などではない、縄張りの外の違う部屋などで行うとおとなしくなる傾向がありますのでやりやすいと思いますよ。スプレーは顔にかかると特に嫌がりますので注意して下さい。そして一通りグルーミングが終わったら、ご褒美として牧草などを与えるとよいと思います。以後、グルーミングが終わるとご褒美がもらえると覚えてくれるはずです。皆さん始めは何事も上手にいかないものです。どうぞ焦らずにあー様とうさぎさんのペースで行って下さいね。
連続のくしゃみや目やになどが続くことは、健康な状態では見られない症状です。牧草などの粉などが原因だったり、あー様のお考えのように風邪の一種かもしれません。いずれにせよ、専門家である獣医師に現在の状況を診断していただくのがよいと思います。早めに治療をすれば、それだけ治りも早くなりますよね。
室温は低いと言うことはないと思います。温度と合わせて湿度の管理なども気をつけてあげてください。50～60％が理想でしょう。日光が望めないようであれば、空気が滞らないように十分な通気を確保してあげてくださいね。