ケージから出してあげているときの部屋に対して、縄張りを持っていることが原因かもしれません。うさぎさんにとっては、ケージの外の決まったところがトイレの場所と認識しているのだと思います。ですので、二階の部屋でも同様にケージから出すようになれば、縄張りが変わってきますので、別にトイレの場所を決めることも考えられると思います。
寒さ対策としては、飼育されている環境に応じて選んであげるとよいと思います。ケージや壁などにかけるタイプは、その周りの空気を暖めるものですので、われわれ人間の暖房器具のストーブやエアコンなどと同じような効果と考えて頂くとよいと思います。一般的には室内飼いが多いようですので、敷くタイプのヒーターが主流になっているようです。ヒーターは直接うさぎさんが乗ることで、暖を取れます。ですから、ケージ内に入れるときは、うさぎさんが暖かいところ、そうでないところと選んで動くことができるスペースに適したサイズを選ぶことが必要です。