掃除の時に決まって排泄するということのようですね。しかも普段はケージの中ではあまり排泄はしていないような様子でもありますから、この場合はケージの外にうさぎさんが縄張りを持ってしまったということが考えられるかもしれませんね。また、掃除している側から排泄するということは、わりとよく聞く話でもあります。飼い主さんに構ってもらいたいのか、きれいにされては縄張りの危機？！とも思っているのか、正直なところ、うさぎさんに聞いてみたいモノですよね。
できれば、ケージの中に縄張りを持ってもらうことが望ましいのだと思います。もちろんいまの状態が問題があるかといえば、飼い主さんであるもかいちご様のお掃除が大変ということぐらいなのかもしれませんが、うさぎさんの縄張りを明確にしてあげることは大事なのだと思いますね。
そして、床材ですが、牧草よりもすのこや下網など、排泄物が直接足に触れない環境を作ってあげたほうがよろしいと思います。まずはうさぎさんの足裏やお尻の状態を観察してください。ソアホックや汚れや炎症などが見られるのであれば、直ぐにでも・・ということかもしれません。また、まったく問題ない状態というのであれば、すのこの上に牧草を部分的に敷いてあげて、徐々に環境を変えてあげることなどでも、うさぎさんへのストレスが少なくなる環境作りともいえるかもしれませんね。