確かに、これからの時期は日中だけでなく、夜の環境にも気を配っていただくことが必要なのかもしれませんね。
今回の場合ですと、新しいケージになったこと、そして部屋が変わったこと、これらがうさぎさんにとっての環境の変化といえると思います。ケージが変わっただけ、もしくは部屋が変わっただけでも、その変化を感じ取るうさぎさんですから、余計に落ち着かない様子なのかもしれませんよね。そしてそのことをちんぷい様に伝えようと、ケージを噛んだりしているのかもしれません。
まずは新しいケージに慣れさせるということも大事なのかもしれませんよ。ケージを囓ってしまうならば、かじり木やすのこなどでガードしてあげて、囓ってもよい環境にしてあげることが必要だと思います。そして夜ケージを移動するときに、もうお休みの時間だからね！とよく言い聞かせてみましょう。休むことに合わせて、布などをケージに掛けてあげることもよいですね。休む時間だと理解してもらいましょうね。夏場ですから、あまり厚手の布ですと、部屋を移動した意味もなくなるでしょうから、適当なものにしていただくことも大切ですね。
それでもうさぎさんが慣れないようならば、今までと同様にリビングで過ごしてもらうことなのだと思います。飼い主さんの寝不足が続くようだと辛いですからね。リビングでもうさぎさんが快適に過ごせるように、管理をしていただくことが必要になるかと思いますが、お互いストレスのない生活を送れることが一番ですからね。