お話を拝見する上では、ケージの床面が下網などやすのこをお使いではなく、床材として新聞紙を使用されているような印象ですね。この場合、その新聞紙をがりがりさせないようにすることは、大変難しいことなのかもしれません。
うさぎの飼育環境として理想的なのは、トイレのしつけがきちんと出来ている子であっても、すのこや下網などの床面が適していると思います。足裏のトラブルを回避することもそうですし、なにより糞などの排泄物が下に落ちてそれらを踏むことなく快適にすごせますからね。そして、直に新聞紙に触れることができるのならば、遊びの一環として、また、今回の福ちゃんのように自分の意志を伝えるためにも、がりがりしてみたり食べてみたりすることは避けられないと思いますね。
外に出たいという要求は、朝の時間帯は無理なのだということを、まず福ちゃんに覚えてもらって、そして留守中にいたずらできないような環境を整えてあげることが大切だと思いますよ。そして、新聞紙のかわりにおもちゃとなるものも与えてあげることもよいと思います。
新聞紙は、食べるためのものではないですから、大量に口にしてしまうようではやはり問題があります。すぐに環境を変えられない場合は、新聞紙を牧草に変えていただくことでも、無駄な誤飲を防ぐことができると思いますよ。この場合も、排泄物などで汚れてしまうことも少なくないですから、まめにお掃除していただくことが大切ですね。