すのこが腐ってしまうのは、水分や湿気がこもってしまっているのかもしれません。それでもなかなか腐ってしまうまでに時間がかかるかとも思いますので、なぜ腐ってしまうのか、うさぎさんがこぼしてしまっているのか、水替えのときにこぼしてしまうのか、湿気がこもる場所ではないかなど、もう一度観察してみてください。原因がわかれば対処の方法も自然とでてくると思います。頻繁にすのこがダメになるようであれば、発想の転換で、ケージの床をすのこから金網に変えてしまうのも一案です。それで、部分的にすのこを敷いて上げることで、よりよい環境を作ることも出来ると思います。
梅雨の時期は特に湿気対策が必要になります。どうしても湿度が高くなりますので、除湿に心がけたり、空気がこもらないよう換気や、空気の通り道を作ってあげてください。
わら（牧草）がすのこの下に落ちてしまうのを全くなくすというのは難しいかもしれません。うさぎさんは自分で好みの牧草を選んで食べたりもしますので、気に入らない部分はわざと落としたりもします。ですので、下に落ちにくい牧草入れに変えてみるということで、少しは解消になるかどうかというところでしょうか？