生後１ヶ月ほどのうさぎさんですと、お母さんうさぎさんから離乳したかどうかぐらいの時期ともいえますよね。通常は、お母さんから徐々に離乳しながら、同時期にペレットや水なども、覚えていく段階ともいえます。お母さんのまねをしながら、ミルク以外の食事を取るといえるのですね。
ギズモ様の場合には、すでにお母さんからも離れていますので、ギズモ様がお母さん代わりに教えてあげることが必要だと思います。水は、基本的に与えたからといって下痢はおこさないですよ。器などに新鮮なお水を与えてみてください。もちろんボトルなどでも構いませんが、ノズルから水がでて飲めるということを教えてあげことが必要です。上手に覚えるまでは、器と併用して与えてください。
そして今回の質問の内容には野菜を与えるということが述べられていますが、本来子うさぎさんにはあまり適さないものでもあるのです。生後３～４ヶ月頃から徐々に与えることが理想かもしれません。ですが、すでに人参などで過ごしている（ペットショップにいるときから）ようであれば、急激には変えないほうがよいでしょうね。急に変えてしまうと、うさぎさんの腸内細菌のバランスが崩れてしまい、お腹をこわすこともありますから、徐々にペレットや牧草（いずれも、アルファルファが原料やアルファルファ牧草そのものが適していますよ）に変えていっていただくとよいと思います。また、野菜を食べて過ごしていると、そこから水分を補給していることもありますので、水をあまり飲みつけないことなども考えられるかもしれませんが、水の存在は教えてあげていただきたいと思いますよ。