うさぎさんは種類などによっても、その性格などに傾向があるようですが、ネザーランドドワーフの場合は、臆病で警戒心が強いともいえるのかもしれません。もちろんこれはその子その子でその様子が違ってくるといえることですので、こずえ様のうさぎさんは、より警戒心が強かったり臆病だったりするのかもしれませんね。
運動不足が気になるとのことのようですが、ちょっと気になる点があります。うさぎさんがケージをカジカジした時に、部屋に放してあげているようですが、実はこれはしつけの上ではよくないことともいえるかもしれません。うさぎさんはとても賢いですから、自分がケージをカジカジすれば、外に出してくれると覚えてしまいます。こうなると、夜中にこのカジカジ攻撃が見られたりすると、とても手におえなくなってしまいます。
ですので、うさぎさんから「出して～」といわれて出すのではなく、毎日決まった時間にケージの扉を開けてあげることがよいと思います。決まった時間には外に出られると覚えてもらいましょう！その時間になっても、うさぎさんが出てこないのであれば、それはうさぎさんの意思でそうしているのであって、それを運動不足だからといって、無理に出すことは必要ないとも感じます。私たちでも、気分によっては外出したくないときがありますよね！それと同じと捉えられるのではないでしょうか。
決まった時間にケージが放たれていれば、うさぎさんも外に出たい気分の時は、率先して出てきてくれるのだと思いますよ。うさぎさんの生活にとって、何事も規則正しく決めてあげることが大事ですから、運動できる時間帯というのも、こずえ様の生活パターンに合わせて、つくってあげるとよいのだと思います。
うさぎさんにはその子の個性というものが大きいと思います。遊び好きな子もいれば、おとなしくいるお嬢様のような子もいるということです。無理強いせずに、うさぎさんの気持ちもくみ取ってあげてくださいね！
体重管理としては、年齢がたつほど、消費していくエネルギーが少なくなってくるともいえるかと思いますので、ペレットの量などを制限してあげて、牧草主体の食事内容にしながら健康管理をしていただくとよいと思いますよ。